Диофантовы уравнения (по имени древнегреческого математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах. Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by = 1, где а и b — целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x₀ и у₀ — одно решение, то числа х = x₀ + bn, у = y₀-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x₀ = 2, у₀ = - 1). Другим примером Д. у. является x² + у² = z². Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m² - n², у = 2mn, z = m² + n², где m и n — целые числа (m> n > 0).

  Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида

  ах² + bxy + су² + dx + еу + f = 0,

где а, b, с, d, е, f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. у. x² — dy² = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.

  a₀ xⁿ + a₁x^n-1y +... + a_nyⁿ = с

(где n ³ 3, a₀, а₁,..., a_n, с — целые и многочлен a₀tⁿ + a₁, t^n-1 +...+ a_n неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

  ax³ + y³ =1.

Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.

  Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.