Касательная к кривой линии, предельное положение секущей. К. определяется так. Пусть М — точка кривой L (рис. 1). Выберем на L вторую точку M' и проведём прямую MM'. Будем считать М неподвижной, а точку M' приближать к М по кривой L. Если при неограниченном приближении M' к М прямая MM' стремится к одному определённому положению MT, то MT называется касательной к кривой L в точке М. Не у всякой непрерывной кривой имеются К., поскольку прямая MM' может не стремиться к предельному положению или может стремиться к двум разным предельным положениям, когда M' стремится к М с разных сторон от М (рис. 2). Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённую К. во всех точках, кроме некоторого числа «особых» точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением у = f (x) и f (х) дифференцируема в точке x₀, то угловой коэффициент К. в точке М с абсциссой x₀ равен значению производной f'(x₀) в точке x₀, уравнение К. в этой точке имеет вид:

у — f (x₀) = f '  (х₀)(х — x₀).

  Касательной (прямой) к поверхности S в точке М называют любую прямую, проходящую через точку М и лежащую в касательной плоскости к S в точке М.

Рис. 2 к ст. Касательная.

Рис. 1 к ст. Касательная.