Комплексные числа, числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); х называют действительной частью, а у — мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа — частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у ¹ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = х—iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i²=—1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и j:, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:

  r (cos j + i sin j)

  (тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);

   называют модулем К. ч. х+iy, а j = arg z — аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

  [r (cos j + i sin j)] ⁿ = rⁿ (cos nj + i sin nj),

  , в частности

  , k = 0, 1, …, n—1

  По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n =0; где a₁,..., a_n — К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.

  Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений, оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу e^ij = cosj + isinj, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин «К. ч.» предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

  Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Рис. к ст. Комплексные числа.