Предел, одно из основных понятий математики. П. — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

  Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел x_n, n = 1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n — a| < e. В этом случае пишется

(lim — первые буквы латинского слова limes), или

x_n ® a при n ® ¥.

  Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., например последовательность 1, —1, 1,..., (—1) ⁿ⁺¹,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

  Для П. последовательностей имеют место формулы

 (c - постоянная)

  Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного x_n/y_n надо ещё дополнительно потребовать, чтобы .   Если x_n £ y_n и последовательности x_n и y_n, n = 1, 2,... сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из x_n < y_n не вытекает , например, 1/n > 0, n = 1, 2,... однако ). Если  и x_n £ z_n £ y_n, то последовательность z_n, n = 1, 2,..., сходится к тому же П.:

  Последовательность a_n, n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, например, последовательность ¹/₂, ²/₃, ³/₄,..., n/(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n/(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

  Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через a_n приближённое значение его корня  (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то a_n £ a_n+1 £ , n = 1, 2, …, поэтому последовательность a_n, сходится, причём из неравенства 0 £  - a_n £ 10^-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

  Для того чтобы сходилась произвольная последовательность x_n, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер N_e, что для всех номеров m ³ N_e и n ³ N_e выполняется неравенство |x_n — x_m| < e.

  Если последовательность x_n, n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер n_e, что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n| > e, то последовательность x_n, называется бесконечно большой и пишется

  Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер n_e, что x_n > e (соответственно x_n < -e) для всех n ³ n_e, то пишется (соответственно )

  Эти П. называются бесконечными. Например, . В случае же последовательности n², n = 1, 2, …,, можно написать не только  но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Например, последовательности x_n = n и y_n =  — n бесконечно большие, а последовательность x_n + y_n,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

  Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается  (соответственно ). Например,

  Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

  Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀. Функция f имеет П. в точке x₀, если для любой последовательности точек x_n, n = 1, 2,..., x_n ¹ x₀, стремящейся к точке x₀, последовательность значений функции f (x_n) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x₀, (или при x ® x₀) при этом пишется

или

f (x) ® A при x ® x₀

  В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x₀, если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x₀, удовлетворяющих условию ½х — x₀½ < d, x ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x) — A½ < e.

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция a^x, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x²), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x) = 1 + x² при x ¹ 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же

, x ¹ 0,

вовсе не имеет П. при х ® 0, ибо уже для значений x_n = 1/(p/2 + pn) последовательность соответствующих значений функции f (x_n) = (-1) ⁿ не имеет П.

  Если П. функции при х ® х₀ равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х₀. Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х₀ П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = A + a(x), где a(х) является бесконечно малой при х ® х₀

  Если при определении П. функции f в точке x₀ рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x₀, то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается  (соответственно ).

  Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

, ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) - А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x  при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x₀ П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x₀ ½ < d, ½x'' — x₀½ < d, x'  ¹ x₀, x'’ ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x')½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида , ,  и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х ® х₀, При х ® х₀ + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x) > e.

  Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x₀ такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е.  П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n) = x_n, n = 1, 2,....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {x_i} таких точек x_i, что

  a = x₀ < x₁ <... < x_i <... < x_n-1 < x_n  = b,

  наз. разбиением отрезка [a, b]. Пусть x_i-1 £ x_I  < x_i, Dx_i  =  x_i - x_i-1, i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x₁)Dx₁ + f (x₂)Dx₂ +... + f (x_n)Dx_n называется интегральной суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi} отрезка [a, b], для которого Dx_i  < d, и каковы бы ни были точки x_i, x_i-1  £ x_I  £ x_i, i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство

½f (x₁)Dx₁ + f (x₂)Dx₂ +... + f (x_n)Dx_n  - A| < e.

  Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

  Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А Ì В или B Ì A и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x) — а| < e. При определении П. функции f в точке x₀ за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х₀. При определении П. интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [а, b], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками x_i. Подмножества E_h множества Е, отвечающие разбиениям, длины Dx_i, отрезков которых не превышают h, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

  Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f (x), меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х₀ сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов х и x₀, f (x) и А, которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

  Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, например понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств A_n, n = 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множество А, называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам A_n, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств A_n, не принадлежащая A, принадлежит лишь конечному числу A_n.

  Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

  Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории П. под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

  Современная теория П. начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования П. последовательностей, основные теоремы о П. и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. Шатуновского (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

  Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

  Л. Д. Кудрявцев.