EvgBot: Создана новая страница размером '''Бином Ньютона''' - алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражаю...

2009-12-31T17:20:07Z

Создана новая страница размером '''Бином Ньютона''' - алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражаю...

Новая страница

'''Бином Ньютона'''

- [[алгебра]]ическая формула, открытая [[Ньютон]]ом, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а)n = хn + n/1(axn-1) + [n/(n-1)/1•2](а2 хn-2) ''+'' …[n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/1•2•3•…m](anxn-m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1•2•3•…n:

(х + а)n = ∑m[n!/{m!•(n - m)!)] • (xn-mam)

Формула эта была впервые дана Ньютоном в [[1676]] г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в [[Вестминстерское аббатство|Вестминстерском аббатстве]], в [[Лондон]]е, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a1)(х + а2)…(х + аn) = хn + Sn1xn- + Sn2xn-2 + … + Snn

где Sn1 есть сумма данных количеств a 1, a2 ... аn, Sn2 сумма произведений их по два, - Snn произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + аn+1, получим прямым умножением

(x + a1)(x + a2)…(x + an-1) = хn-1 + (Sn1 + an+1)xn + (Sn2 + Sn1an-1)xn-1 + … + Snnan

и в то же время очевидно, что

:Sn1 + an+1 + 1 = S1n+1
:Sn2 + Sn1an+1 = S2n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

xn+1 + S1n+1xn + S2n+1 х n-1 + … + (Sn+1)n+1

и т. д. Пусть теперь все ''а'' равны между собой и равны, например, ''а'', тогда:

:S1 = na
:S2 = [n(n - 1)/1•2]а 2…

и получим (х + а) n = xn + naxn-1 + [n(n - 1)/1•2](a2xn-2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство [[Эйлер]]а для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx '''+''' [n(n - 1)/1•2(x2)] + [n(n - 1)(n - 2)/1•2•3]x3 + …

Для n целого оно равно (1 + x)n. Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны - выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1•2]x2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1•2•3]x3 + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n1)f(n2) ... f(n μ) = f(n1+n2+…+n μ); полагая n 1 = n2 =…= n μ = λ / μ, имеем

[[Файл:Бином Ньютона b6 873-3.jpg|center]]

Таким образом формула Б. Ньютона распространяется на показатели, представляющие соизмеримую дробь. А отсюда легко перейти и к несоизмеримому показателю. Точно так же формула f(m)f(n) = f(m+n) дает сразу [[обобщение]] и на случай отрицательного показателя. Ибо при m+n = 0 имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x)–l = nx + [n(n - 1)/1•2]x2 - [n(n - l)(n - 2)/1•2•3]x3 + … и т. д.
{{БЭСБЕ}}

'''Бином Ньютона''', формула разложения в [[ряды|ряд]] степени двучлена:

[[Файл:Бином Ньютона (МСЭ).jpg|center]]

Формула верна и для n отрицательного и дробного показателя, когда ряд делается бесконечным. Ср. [[Арифметический треугольник]].
== См. также ==
* [[Биномиальные коэффициенты]]
* [[Бином]]
== Ссылки ==
* [[:en:ru:Бином Ньютона|Бином Ньютона //Википедия]]

[[Категория:Математика]]
[[en:Binomial theorem]]

Бином Ньютона - История изменений

EvgBot: Создана новая страница размером '''Бином Ньютона''' - алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражаю...