Вариационное исчисление
Вариационное исчисление
— История происхождения вариационного исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: «Philosophiae naturalis principia mathematica», а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером («Меthodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes…» 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. «Théorie des Fonctions analytiques» и «Leçons sur le Calcul des Fonctions»). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).
Простейшие вопросы вариационного исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от x, которая, будучи подставлена вместо у в данную функцию F от х, у,dy/dx,d2y/dx2..., дала бы интегралу
наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что х 1 и x2, а также и соответствующие им у1 и у2 имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет
Другой пример: требуется провести такую кривую y = f(x) между двумя точками (х1, у1) и (x2, y2) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:
Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция f(x) найдена и что проведена кривая линия y = f(x), делающая интеграл S наибольшим или наименьшим. В функции f(x), кроме x заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от у подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты у есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δу. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры f(x) суть α, β, γ; бесконечно малые приращения их означим через δα, δβ, δγ. Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δу так:
Следовательно, варьирование ординаты у, или f(х) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.
При варьировании f(х) производные у',y" … от функции по x также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δу, δy",'…' Эти вариации производных можно представить так, например, δу:
а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс x, то можно переменить порядок действий получения производных по x и по параметрам; самые приращения δα, δβ, δγ от x не зависят, а потому:
Точно так же можно показать, что:
При варьировании у, функция F(x, y, у', у",... ) получает приращение, равное:
- ΔF = F(x, y + δy,y' + δy' ,…) - F(x, y, y' ,…).
Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δy, δy', δy". Вариацией первого порядка функции F называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δу, δy' , δy" … Эта вариация первого порядка от F обозначается также знаком δ, так что
Удвоенную сумму тех членов приращения F, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δу, δу' , δу"… по две, называют вариацией второго порядка от функции F и обозначают ее так: δ2F.
Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (S), при варьировании ординаты у, то найдем, что оно равняется интегралу от ΔF и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла S:
Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:
Составленное выражение δS может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δу, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А),(А1) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по x от δу. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δу1 = 0 и δу2 = 0 (так как y1 и у2 имеют данные постоянные значения), получим:
, где 
Для того, чтобы интеграл S был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δS была равна нулю, какою бы функцией от x ни была δу; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δу возможно только тогда, когда (F) = 0. Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция у = f(x), делающая S наибольшим или наименьшим.
Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:
из которого следует, что у' = С и у = Сх + С1, где С и C1 - постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия - прямая.
Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.
С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс («Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii», «Gesammelte Werke» Bd. V); Пуассон (в «Mémoires de l’Acadé mie des Sciences», vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский («Mémoire sur le calcul des variations des integrales multiples», в «Mem. de l’Acad. des Sciences de S-Pétersb.» 1838; «Crelle’s Journal», vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби («Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen», в «Gesam. Werke», т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: «Calcul des Variations р. Moigno et Lindelöf» (1861, четвертый том «Leçons de Calcul differentiel et integral p. Moigno»). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: «A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century», 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.
- В статье воспроизведен материал из Большого энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона.
Вариационное исчисление, отдел математического анализа, занимающийся разысканием такого рода функций, которые обращают какое-нибудь заданное выражение в максимум или минимум. Напр. найти линию — кратчайшее расстояние между двумя точками (прямая линия). Вариационное исчисление имеет большое применение в математике, механике и теоретической физике.
- В статье воспроизведен текст из Малой советской энциклопедии.
