Полиномиальное распределение
Полиномиальное распределение (мультиномиальное распределение) — совместное распределение вероятностей случайных величин
- <math>
\xi_1, \ldots, \xi_k, </math> принимающих целые неотрицательные значения
- <math>
n_1, \ldots, n_k, </math> удовлетворяющие условиям
- <math>
n_1+\ldots+n_k=n, </math> с вероятностями
- <math>
\mathbf{P}(\xi_1=n_1,\ldots,\xi_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}, </math> где <math>p_i \geq 0</math>, <math>\sum_{i=1}^n p_i = 1</math>; является многомерным дискретным распределением случайного вектора <math>(\xi_1, \ldots, \xi_k)</math> такого, что :<math> \xi_1+\ldots+\xi_n = n </math> (по существу это распределение является <math>(k-1)</math>-мерным, так как в пространстве <math>\mathbb{R}^k</math> оно вырождено); естественным (с точки зрения современной теории вероятностей) образом обобщает биномиальное распределение и совпадает с ним при <math>n=2</math>. Название «полиномиальное распределение» объясняется тем, что полиномиальная вероятность является общим членом разложения полинома (многочлена)
- <math>
(p_1+\ldots+p_k)^n. </math>
Полиномиальное распределение появляется в следующей схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин <math>\xi_j</math> — это число наступлений одного из взаимоисключающих событий <math>x_j, j=1,\ldots,k</math>, при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события <math>x_j</math> равна <math>p_j</math>, то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при <math>n</math> экспериментах события <math>x_1, \ldots, x_k</math> наступят <math>n_1, \ldots, n_k</math> раз соответственно. Каждая из случайных величин <math>\xi_i</math> имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием <math>np_i</math> и дисперсией <math>np_i(1-p_i)</math>.
Случайный вектор <math>(\xi_1, \ldots, \xi_k)</math> имеет математическое ожидание <math>(np_1, \ldots, np_k)</math> и ковариационную матрицу <math>B=\| b_{ij} \|</math>, где
- <math>
b_{ij} = \begin{cases} np_i(1-p_i), & i=j,\\ -n p_i p_j, & i \not= j. \end{cases} </math> Ранг матрицы <math>B</math> равен <math>k-1</math> в силу того, что <math>\sum_{i=1}^k n_i=n</math>.
Характеристическая функция:
- <math>
f(t_1,\ldots,t_k) = \left( p_1 e^{it_1}+\ldots+ p_k e^{it_k}\right)^n. </math> При <math>n \to \infty</math> распределение случайного вектора <math>(\eta_1, \ldots, \eta_k)</math> с нормированными компонентами
- <math>
\eta_i = (\xi_i-np_i)/\sqrt{np_i(1-p_i)} </math> стремится к некоторому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы
- <math>
\sum_{i=1}^k (1-p_i)\eta_i^2, </math> которая используется в математической статистике при построении <math>\chi^2</math>-критерия, стремится к <math>\chi^2</math>-распределению с <math>k-1</math> степенями свободы.
