Алгебра

Алгебра (араб.), часть математики, непосредственно примыкающая к арифметике и развивающаяся в такой тесной с нею связи, что в древности с нею сливалась в одно понятие. Ее главные задачи:

1) установить строгое определение действий над величинами [так назыв. 6 алгебраических действий (см.)];

2) обобщить и строго определить, в связи с результатами действий, различные виды чисел: положительные, отрицательные, целые, дробные, рациональные, иррациональные, действительные и мнимые (см. эти слова);

3) изучить свойства и приемы преобразования выражений, представляющих результат алгебраических действий над величинами (так наз. алгебраические функции);

4) изучить свойства алгебраических уравнений и приемов их.

Начальная А. занимается только уравнениями простейших видов; общая теория алгебраических уравнений и приемов их решения составляет предмет высшей алгебры.

Начала А. относятся к глубокой древности: в египетском папирусе Ринда, написанном Ахмесом ок. 2000 лет до хр. эры, уже встречается задача, приводящая к уравнению; но последовательное изучение вопросов алгебраического характера впервые произведено арабами, от которых произошло и самое название А.: преобразование уравнения, состоящее в перенесении членов из одной части в другую с тем, чтобы все члены стали положительными, арабы называли аль-джебр (что означало на языке арабских врачей вправление вывихнутой кости). Характерная особенность, отличающая современную А. от элементарной арифметики, состоит в применении букв для обозначения величин, входящих в алгебраическое выражение. Этим приемом не умели пользоваться древние алгебраисты хотя бы потому, что у многих древних народов (в особенности у греков) буквы употреблялись как цифры и не могли обозначать величины вообще. В 4 в. греческий математик Диофант написал сочинение «Арифметика», к-рое в сущности было первым трактатом по А.: здесь он дает приемы решения неопределенных уравнений, которые получили название диофантовых. Для развития А. довольно много сделали индусские математики. Только после распространения в Европе индусских (арабских) цифр сделалось возможным пользоваться буквами как знаками различных величин и в связи с тем построить современную А.

Великая заслуга этого нового приема изложения А.принадлежит франц.математику Вьету (1540—1603). В результате введенного им алгебраического знакоположения получилась возможность сжатым и наглядным образом изобразить все те действия, которые нужно произвести над данными числовыми величинами для получения искомого результата; особенно это отразилось в основной части алгебры — теории уравнений (см.). Решение уравнений первой степени восходит к глубокой древности. Решение квадратных уравнений (вида x² + px + q = 0) было известно древним грекам (решавшим их геометрическими приемами) и индусам; решение уравнений 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. итальянскими математиками Тартальей, Карданом и Феррари. Решение уравнений степеней выше 4-й привлекало к себе внимание многих математиков 17 и 18 веков, пока Абель и Руффини не доказали невозможности решения этих уравнений в общем виде (с буквенными коэффициентами) при помощи шести обычных алгебраических действий. После этого развитие алгебры пошло по двум направлениям: во-первых старались получить способы, при помощи которых можно было бы получить приближенные числовые значения корней данного уравнения с числовыми коэффициентами (работы Штурма, Фурье и др.); во-вторых найти те классы алгебраических уравнений высших степеней, которые могут быть решены алгебраическим путем (работы Гаусса, исследовавшего решение двучленных уравнений вида

xⁿ — а = 0, где n — любое число,

Галуа, Клейна и др.)- Уравнения со многими неизвестными впервые подверглись систематической разработке в 18 веке (работы Безу), когда были выработаны общие приемы сведения решения этих уравнений к решению ряда уравнений с одним неизвестным (теория исключения), приведшие к созданию имеющей весьма важное значение и в других отделах математики теории детерминантов (см.) — определителей, созданной главным образом трудами Якоби.

В педагогических целях алгебра делится на элементарную и высшую. Основные отделы элементарной алгебры следующие: 1) алгебраическое знакоположение, имеющее целью установить основные законы шести алгебраических действий над буквенными выражениями и преобразований, получающихся в их результате алгебраических выражений, 2) теория решения уравнений 1-й и 2-й степеней. Кроме того, сюда же относятся—теория логарифмов (см.) и показательных уравнений, теория неопределенных уравнений, теория соединений (комбинаторика) и ее приложения, бином Ньютона (см.), теория прогрессий (см.), рядов и непрерывных дробей (см.). Остальные отделы составляют предмет высшей алгебры.

Литература

Литература для первоначального ознакомления: Борель Э., Арифметика и алгебра, Одесса, 1923;

для более глубокого:

• Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарн. математики, т. I, Одесса, 1907;
• Клейн Ф., Вопросы элементарной и высшей математики, Одесса, 1912;
• Млодзеевский Б. К., Основы высшей алгебры, 2 изд., Москва, 1923;
• Граве Д., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914.

В статье воспроизведен текст из Малой советской энциклопедии.

---