Арифметическая средняя
Арифметическая средняя
— А. средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число. Так, А. средняя из a1, a2,…an есть
- a = (a1+a2 + … +аn)/n.
Главные свойства А. средней содержатся в следующих двух положениях:
- 1) Сумма уклонений всех данных от их арифметической средней равна нулю: так, из написанной формулы очевидно следует: (a1-a) + (a2-a) + … + (an -а) = 0, что и требовалось доказать.
- 2) Сумма квадратов уклонений отдельных данных от арифметической средней имеет наименьшую величину, то есть (a1-a)² + (a2-a)² + … + (an-a)² = minimum, так как если вместо а мы возьмем a+h, то получим для новой суммы квадратов уклонений ∑(аi -а+h)² = ∑(аi-a)²+ 2•h•∑(ai-a) + n•h², a так как ∑(ai -a) = 0, то эта сумма = ∑(аi-a)² + n•h², что очевидно больше ∑(ai-a)², что и требовалось доказать.
Арифметическая средняя имеет обширное применение и громадное значение во всех научных измерениях или счислениях. Если произведен ряд наблюдений над величиною какого-нибудь объекта и для этой величины найдены различные значения а1, а2… an, то вероятнейшее значение измеренной величины есть а — арифмет. средняя из отдельных наблюдений. Это имеет место в том случае, когда измерения а1 одинаково точны и достоверны, то есть равновески. Если же точность этих измерений не одинакова, если, напр., результат a1 получен из p1 отдельных наблюдений, результат а2 из р2 таких же наблюдений,… результат а из р n таких же наблюдений, то вместо простой А. средней должно взять величину
- а = (p1a1 + p2a2 + … + pnan)/(p1 + p2 + … + pn), короче ∑piai:∑pi.
Должно различать два рода А. средних; в одном случае средняя выражает вероятнейшую величину какого-нибудь объекта измерения, напр. вероятнейший рост человека, измеренного несколько раз. В другом случае А. средняя есть фиктивная величина, изображающая средний тип группы различных предметов, напр. средний рост большого числа людей. Иногда различают еще третий вид средних, который получается в некоторых исследованиях как точный результат из двух чисел, в которых в одном случае некоторая посторонняя причина действовала в одном направлении, в другом случае, с такою же силою, в противоположном; напр. в астрономических наблюдениях кульминационная ошибка при двух противоположных положениях трубы или при выводе широты места из наблюдений двух звезд в нижней и верхней кульминации их.
Принцип А. средней при выводе вероятнейшего результата, вероятно, применялся, более или менее случайным образом, уже в древности; изречение αριστον μέτρον, вероятно, прилагалось не только к философским теориям. Однако до Лежандра и в особенности Гаусса, то есть до XIX-го столетия, не существовало теории ошибок и систематических способов вычисления результатов наблюдений, а понятие средней как типа было впервые прочно установлено в науке трудами Кетле, в середине настоящего столетия. А. средняя и приложение ее к выводу вероятнейшего результата из ряда несогласных наблюдений породила целую литературу, до сих пор еще не сказавшую последнего слова о пределах применимости этого способа. Скиапарелли показал, что арифметическая средняя есть единственная функция системы чисел, обладающая следующими двумя свойствами:
- 1) она не изменяется от изменения единиц, в которых выражены эти числа, то есть аналитически: если все данные числа увеличить в m раз, то и средняя увеличится в m раз, и
- 2) она не изменяется от перемещения точки нуля, от которой отсчитываются данные числа, то есть если ко всем данным числам прибавить некоторое число h, то и к средней прибавится то же число h.
Арифметическая средняя может рассматриваться как основание метода наименьших квадратов (см. это сл.) или как следствие или частный случай его (см. Ошибки).
- В статье воспроизведен материал из Большого энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона.
Арифметическая средняя, n чисел а1, а2,… аn, есть их сумма, разделенная на их число:
- а = 1/n • (a1+a2+…+an).
Напр. А. с. чисел 1, 10, 13 будет (1 + 10 + 13)/3 = 8. А. с. так же, как и другие средние величины, широко применяется в статистике.
- В статье воспроизведен текст из Малой советской энциклопедии.
