Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения Д. и. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

  Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа.

  Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt²/2, где s — пройденный путь с начала падения (в метрах), t — время падения (в секундах), g — постоянная величина, ускорение свободного падения, g » 9,81 м/сек². За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую — около 14,7 м, а за десятую — около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Dt равна

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Dt приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

  В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + Dt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Dt даётся формулой Ds/Dt, где Ds = f (t + Dt) — f (t), а скорость движения в момент времени t равна

Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (t, t + Dt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

  К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис.) построения касательной к плоской кривой в некоторой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f (x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла a, образованного касательной с осью Ox. Обозначим через x₀ абсциссу точки М, а через x₁ = x₀ + Dх — абсциссу точки M₁. Угловой коэффициент секущей MM₁ равен

где Dy = M₁N = f (x₀ + Dx) — f (x₀) — приращение функции на отрезке [x₀, x₁]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM₁, когда x₁ стремится к x₀, получаем

  Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Например, сила тока определяется как предел

где Dq — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Dt; скорость химической реакции определяется как предел

где DQ — изменение количества вещества за время Dt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

  Производную функции y = f (x) обозначают f' (x), у', dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f (x) имеет в точке х₀ производную, то она определена как в самой точке x₀, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x₀. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Dу/Dх не имеет предела при Dx ® 0: если Dх > 0, это отношение равно +1, а если Dx < 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

  Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

  Таблица формул и правил дифференцирования

  (C)´ = 0; (xⁿ)´ = nx^n-1;

  (a^х)´ = a^x ln a и (e^x)´ = e^x;

  (log_ax)´ = 1/x ln a и (ln x)´ = 1/x;

  (sin x)´ = cos x; (cos x)´ = – sin x;

  (tg x)´ = 1/cos² x; (ctg x)´ = – 1/sin² x;

  (arc tg x)´ = 1/(1 + x²).

  [f (x) ± g (x)]´ = f ´(x) ± g´(x);

  [Cf (x)]´ = Cf ´(x);

  [f (x) g (x)]´ = f´´(x) g (x) + f (x) g ´(x);

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f [j(x)], то dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

  Если производная f' (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

  у", f" (x), d²y/dx², d²f/dx² или D²f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

  Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

  yⁿ, fⁿ (x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿ или Dⁿf (x).

  Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х₀, называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение

  Dy = f (x₀ + Dx) - f (x₀)

можно записать в форме

  Dу = АDх + aDх,

где А = А (x₀), a = a(х, x₀) ® 0 при х ® x₀. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x₀ и обозначается dy или df (x₀). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x₀ и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х₀, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х₀, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) º х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x₀ дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x₀), и справедливо равенство dy = f' (x₀) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x₀ как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x₀ примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х₀) = f' (x₀); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x₀), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f' (x₀) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

  Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x₀) и f' (x₀). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

  f (x₁) » f (x₀) + df (x₀) = f (x₀) + f' (x₀) (x₁ - x₀).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

  1/2 d²f = 1/2 f" (x₀)(x₁ – x₀)².

  Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f (b) = f' (c)(b — а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

  Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f' (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f' (x) = 0.

  Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ¥/¥ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

  Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у. Эта частная производная обозначается z'_x, f'_x (x, y), ¶z/¶х или ¶f (x, y)/¶x, так что

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина

  Dz = f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y)

называется полным приращением функции z = f (x, y). Если его можно представить в виде

  Dz = ADx + ВDу + a,

где a — бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х, у) и (х + Dх, у + Dу), то говорят, что функция z = f (x, y) дифференцируема. Слагаемые АDх + ВDу образуют полный дифференциал dz функции z = f (x, y), причём А = z'_x, B = z'_y. Вместо Dx и Dy обычно пишут dx и dy, так что

  Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.

  Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ¶²f/¶х² и ¶²f/¶у², в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чистыми, а частные производные ¶²f/¶x¶y и ¶²f/¶у¶х— смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

  Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.

  Эпохой создания Д. и. как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

  Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость — флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.

  В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла òydx, ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

  Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у' или f' (x). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 — начале 20 вв.

  Лит.: История. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3—4, Lpz. — В., 1901—24.

  Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М. — Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Л'Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М. — Л., 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М. — Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

  Учебники и учебные пособия по Д. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его же, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М. — Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. — М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

  Под редакцией С. Б. Стечкина.

Рис. к ст. Дифференциальное исчисление.