Теория вероятностей
Вероятностей теория, область прикладной математики, изучающая законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым. Основы ее дали в 17 в. Паскаль и Ферма. Случайным событием называется такое событие, у которого причина сложная и состоит из совпадения нескольких событий, связь которых для нас неизвестна. Например, вынув шар из урны, куда положено 10 одинаковых шаров (6 белых и 4 черных), мы говорим, что случайно вынулся белый шар. Здесь причина — расположение шаров в урне и движение руки вынимающего; и то и другое нам неизвестно. Для измерения вероятностей случайного события мы берем дробь, где знаменатель — число всех шансов или статочностей, возможных при условиях опыта, а числитель — число статочностей, благоприятствующих событию; в только-что приведенном примере с урной вероятность вынутия белого шара р = 6/10 = 3/5 . Для вычисления величины вероятностей в более сложных случаях пользуются алгебраическими формулами теории соединений. Этими приемами решаются весьма разнообразные задачи нахождения вероятностей случайных явлений, когда даны условия рассматриваемого явления. Вероятность события, вычисленная при таких условиях, назыв. иногда вероятностью «а приори» (по начальным данным). Но в обыденной речи «вероятность» употребляется еще и в другом смысле. Напр. найдя в статистическом сборнике, сколько в данном городе было населения в начале года и сколько в течение года в нем умерло, мы делим второе число на первое, получаем некоторую правильную дробь, к-рую назовем вероятностью смертности в течение года для жителя этого города. Статистика показывает, что подобные дроби очень мало меняются из года в год и от одной местности к другой. Они показывают, насколько часто встречаются случаи рассматриваемого рода; поэтому их называют частостям и, или вероятностями «а постериори» (на основании опыта). Вычислив вероятность «а приори» для какого-нибудь испытания, — например с урной,— мы можем над той же урной произвести в действительности весьма большое число испытаний и подсчитать число появлений белого шара при этих испытаниях; разделив число появлений белого шара на число всех испытаний, мы найдем частость его появления, то есть вероятность «а постериори». В обыденной речи оба понятия смешиваются. Насколько эти две величины — частость и вероятность «а приори» — между собой близки? Ответ на этот вопрос дает теорема Якова Бернулли (1713). Она показывает, что при весьма большом числе испытаний уклонение частости от вероятности будет лежать в очень тесных пределах, тем более близких один к другому, чем больше число испытаний. Теорема Бернулли была обобщена Пуассоном (закон больших чисел) и П. Л. Чебышевым. Закон больших чисел устанавливает близость частости и вероятности; он открывает теории обширные приложения к статистике, биологии, обществоведению и т. д. Одним из самых давних было приложение теории к азартным играм и страхованию. Если игрок участвует в игре, где величина выигрыша А рублей, а вероятность — р, то на основании теоремы Бернулли можно показать, что после весьма большого числа сыгранных партий величина среднего выигрыша на 1 партию будет равна произведению Aр. Эта величина называется математическим ожиданием игрока. На взнос, делаемый страхователем, можно смотреть как на ставку, которую он делает с целью получения страховой премии. Поэтому для безобидности страхования взнос страхователя должен равняться его математическому ожиданию. На этом правиле основаны расчеты страховых обществ, пенсионных касс, эмеритур и т. д. Из других приложений В. т. особенно важны: 1) теория ошибок наблюдения, предложенная Гауссом в 1809; 2) математическая статистика, основание к-рой положено Кетле в 1848 и к-рая получила особенно широкое развитие в последнее время, преимущественно благодаря трудам английских математиков, гл. обр. Пирсона.
Литература: Пуанкаре А., Наука и гипотеза, глава XI, Москва, 1904. Специальная —
- Некрасов П. А., Теория вероятностей, СПБ, 912;
- Марков А. А., Курс теории вероятностей, М., 1924;
- Лахтин Л. К., Курс теории вероятностей, Москва, 1924;
- Бернштейн С. П., Теория вероятностей, Москва, 1924.
Л. Лахтин, И. Веселовский.
- В статье воспроизведен текст из Малой советской энциклопедии.
